概率统计

基础知识补充： 期望 期望值，是指无限次重复一个随机实验，所能得到的长期平均结果。它是所有可能结果的概率加权和。 计算方法：每个可能的结果乘以其发生的概率，然后将所有乘积相加。 E(X)=∑[xi​⋅P(X=xi​)] （对于连续型变量，使用积分） 联系By大数定律 平均值和期望值通过大数定律 被深刻地联系在一起。 大数定律指出：当试验次数（样本容量 n）足够大时，样本的平均值 xˉ 会无限接近总体的期望值 E(X)。 这就像在掷骰子的例子中，你掷的次数越多，你的平均点数就越接近理论期望值3.5。 通过例子区分平均值和期望：平均值是对已经发生的数据的概括，而期望值是对未来可能性的预测 方差 方差 是衡量随机变量与其平均值（期望值）的偏离程度的量。它描述了数据的离散程度。 计算公式：对于一个随机变量 X，其方差 Var(X) 定义为： Var(X)=E[(X−E[X])2] 直观理解： 方差大：数据点散布得很开，远离均值。不确定性高。 方差小：数据点紧密地聚集在均值周围。不确定性低。 中心极限定理 中心极限定理描述的是样本平均值分布 正态分布 正态分布描述的是数据在其平均值附近波动 正态分布的期望为 μ 区别方差和标准差 后者反应了数据在平均值上下的波动范围，前者由于是后者的平方，更多的是反映数据的分散程度，方差越大，数据越分散。 条件期望 普通期望（无条件期望）：E[y] 这是随机变量 y 的全局平均值。它回答的问题是：“在所有可能的情况下，y 平均来看是多少？” 例子：E[身高] = 全体中国成年男性的平均身高（比如175cm）。它不考虑任何其他信息。 条件期望：E[y | x] 这是在给定某些已知信息 x 的情况下，y 的条件平均值。它回答的问题是：“当我们知道了某个信息 x 后，y 平均来看是多少？” 例子：E[身高 | 年龄=10岁] = 已知一个男性年龄是10岁时，他的平均身高（比如140cm）。 核心思想：条件期望让我们能够根据已知信息，做出更精确、更“有条件”的预测。 条件期望随着条件的变化而变化： E[房价 | 面积=50平米] = 可能是 300万（小房子更便宜）。 ...